Question

8．在平行四邊形ABCD中，BC=8，F(xiàn)為AD的中點，點E是邊AB上一點，連結CE恰好有CE⊥AB．
（1）當∠B=60°時，求CE的長．
（2）當AB=4時，求∠AEF：∠EAF：∠EFD．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得出∠BEC=90°，∠BCE=30°，得出BE=$\frac{1}{2}$BC=4，由勾股定理求出CE即可；
（2）取BC的中點G，連接FG交CE于O，證出四邊形ABGF和四邊形CDFG都是菱形，且O為CE的中點，得出∠AEF=∠EFG，∠DFC=∠CFG，OF為CE的中垂線，得出∠EFG=∠CFG，因此∠EFD=3∠AEF，得出∠FAE=∠EFD-∠AEF=2∠AEF，即可得出結論．

解答 解：（1）∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$；
（2）取BC的中點G，連接FG交CE于O，連接CF，如圖所示：
∵BC=8，AB=4，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABGF和四邊形CDFG都是菱形，且O為CE的中點，
∴∠AEF=∠EFG，∠DFC=∠CFG，OF為CE的中垂線，
∴EF=CF，
∴∠EFG=∠CFG，
∴∠EFD=3∠AEF，
∴∠FAE=∠EFD-∠AEF=2∠AEF，
∴∠AEF：∠EAF：∠EFD=1：2：3．

點評 本題考查了平行四邊形的性質、菱形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理、平行線的性質等知識；本題綜合性較強，特別是（2）中，需要通過作輔助線才能得出結論．