Question

16．已知：二次函數(shù)y=ax²+bx+6（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)，點A、點B的橫坐標是一元二次方程x²-4x-12=0的兩個根．
（1）直接寫出點A、點B的坐標：A（-2，0），B（6，0）．
（2）求出該二次函數(shù)的解析式及對稱軸；
（3）若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，d=|BP-CP|，探究：是否存在一點P，使得d的值最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用分解因式法解方程x²-4x-12=0，即可求出點A、B的橫坐標，由此即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法即可得出拋物線的對稱軸；
（3）連接AC并延長，交拋物線對稱軸于點P，連接PB，利用三角形的三邊關系來說明此時d最大．令拋物線解析式中x=0求出y值，即可得出點C的坐標，根據(jù)點A、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，聯(lián)立直線AC與拋物線的對稱軸成方程組，解方程組即可得出點P的坐標，此題得解．

解答 解：（1）x²-4x-12=（x+2）（x-6）=0，
解得：x₁=-2，x₂=6，
∵點A在點B的左側(cè)，
∴A（-2，0），B（6，0）．
故答案為：（-2，0）；（6，0）．
（2）將A（-2，0）、B（6，0）代入y=ax²+bx+6中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+6=0}\\{36a+6b+6=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴該二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
∴該拋物線的對稱軸為x=2．
（3）連接AC并延長，交拋物線對稱軸于點P，連接PB，如圖所示．
∵A、B關于對稱軸對稱，
∴PA=PB，
∵三角形的兩邊之差小于第三邊，
∴當點A、C、P共線時，|BP-CP|最大．
令y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6中x=0，則y=6，
∴C（0，6）．
設直線AC的解析式為y=kx+b，
將點A（-2，0）、C（0，6）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=3x+6．
聯(lián)立直線AC與拋物線對稱軸得：$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+6}\\{x=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=12}\end{array}\right.$．
故存在一點P，使得d的值最大，此時點P的坐標為（2，12）．

點評 本題考查了解一元二次方程、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的三邊關系，解題的關鍵是：（1）利用分解因式法解一元二次方程；（2）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（3）確定點P的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，結(jié)合拋物線的對稱性以及三角形的三邊關系確定點P的位置是關鍵．