Question

19．已知方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-y=5}\\{ax+3y=b-1}\end{array}\right.$①無(wú)數(shù)多個(gè)解；②唯一解；③無(wú)解．分別求三種情況下a、b的值．

Answer 1

分析 將元方程組消元化簡(jiǎn)為：ax=b的形式其解有三種可能：①當(dāng)a≠0時(shí)方程組有唯一解；②當(dāng)a=0，b=0時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)多個(gè)解；③當(dāng)a=0，b≠0方程組無(wú)解；

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{x-y=5}&{①}\\{ax+3y=b-1}&{②}\end{array}\right.$
由①得：x=y+5    ③
         將③代入②得：（a+3）y=-5a+b-1，
情況1：當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a+3=0}\\{-5a+b-1=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=-14}\end{array}\right.$時(shí)，原方程組轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}{x-y=5}\\{x-y=5}\end{array}\right.$，
               那么，滿足x+y=5的x、y的值有無(wú)數(shù)對(duì)，
        即：當(dāng)a=-3，b=-14時(shí)，原方程組有無(wú)數(shù)多個(gè)解；
情況2：$\left\{\begin{array}{l}{a+3=0}\\{-5a+b-1≠0}\end{array}\right.$當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b≠-14}\end{array}\right.$時(shí)，原方程組轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}{x-y=5}\\{x-y≠5}\end{array}\right.$
            因?yàn)檫@兩個(gè)方程互相矛盾，所以方程組無(wú)解．
        即：當(dāng)a=-3，b≠-14時(shí)，原方程組無(wú)解；
情況：當(dāng)a≠-3時(shí)，
          由①得：x=y+5    ③
         將③代入②得：（a+3）y=-5a+b-1，
          因?yàn)閍≠3，所以y有唯一解：y=$\frac{-5a+b-1}{a+3}$
      即：當(dāng)a≠3，b為任意實(shí)數(shù)時(shí)原方程組有唯一解：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{b+14}{a+3}}\\{y=\frac{-5a+b-1}{a+3}}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二元一次方程組的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是要理解使方程ax+by=c的有無(wú)解的條件．