Question

17．在正方形ABCD中，連接BD．
（1）如圖1，AE⊥BD于E，直接寫出∠BAE的度數(shù)；
（2）如圖2，在（1）的條件下，將△AEB以A旋轉中心，沿逆時針方向旋轉30°后得到△AB₁E₁，AB₁與BD交于M，AE₁的延長線與BD交于N．求證：BM²+ND²=MN²．（提示，將△AND繞點A順時針旋轉90°，得到△AFB，并連接FM．）
（3）如圖3，E、F是邊BC、CD上的點，△CEF周長是正方形ABCD周長的一半，AE、AF分別與BD交于M、N，寫出線段BM、DN、MN之間的數(shù)量關系，并證明．

Answer 1

分析 （1）理由等腰三角形的三線合一的知識即可解決問題；
（2）將△AND繞點D順時針旋轉90^?，得到△AFB，只要證明△AFM≌△ANM，△FBM是直角三角形即可；
（3）結論：BM²+DN²=MN²．只要證明∠MAN=45°，利用（2）的方法即可證明；

解答 解：（1）如圖1中，

∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠ABD=∠ADB=45^?，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE=∠BAE=45^?；

（2）將△AND繞點D順時針旋轉90^?，得到△AFB，

∴∠ADB=∠FBA，∠BAF=∠DAN，DN=BF，AF=AN，
∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，
∴∠ADB=∠ABD=45^?，
∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90^?，
在Rt△BFM中，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)B²+BM²=FM²，
∵旋轉△ABE得到△AB₁E₁，
∴∠E₁AB₁=45^?，
∴∠BAB₁+∠DAN=90^?-45^?=45^?，
∵∠BAF=DAN，
∴∠BAB₁+∠BAF=45^?，
∴∠FAM=45^?，
∴∠FAM=∠E₁AB₁，
∵AM=AM，AF=AN，
∴△AFM≌△ANM，
∴FM=MN，
∵BM²+FB²=FM²，
∴BM²+DN²=MN²．

（3）結論：BM²+DN²=MN²．
理由：如圖3中，

將△ADF繞點A順時針旋轉90^?得到△ABG，
∴DF=GB，
∵正方形ABCD的周長為4AB，
△CEF周長為EF+EC+CF，
∵△CEF周長是正方形ABCD周長的一半，
∴4AB=2（EF+EC+CF），
∴2AB=EF+EC+CF
∵EC=AB-BE，CF=AB-DF，
∴2AB=EF+AB-BE+AB-DF，
∴EF=DF+BE，
∵DF=GB，
∴EF=GB+BE=GE，
由旋轉得到AF=AG，
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF，
∴∠EAG=∠EAF=45°，
同理可得BM²+DN²=MN²．

點評 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．