Question

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)P，Q分別是邊AD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP=CQ=t（t＞0）．
（1）求證：四邊形BPDQ是平行四邊形；
（2）當(dāng)四邊形BPDQ是菱形時(shí)，求t的值；
（3）連結(jié)PQ、AC，若點(diǎn)A關(guān)于PQ所在直線的對(duì)稱點(diǎn)A′恰好落在線段AC上時(shí)，則四邊形BPDQ的面積是$\frac{21}{8}$（直接寫出答案即可）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD∥CB，AD=BC，根據(jù)題意得到PD=BQ，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的四條邊都相等和勾股定理列出方程，解方程求出t的值；
（3）根據(jù)題意和軸對(duì)稱的性質(zhì)得到四邊形AQCP是菱形，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可得到答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥CB，AD=BC，
∵AP=CQ，
∴PD=BQ，又AD∥CB，
∴四邊形BPDQ是平行四邊形；
（2）∵四邊形BPDQ是菱形，
∴DQ=BQ=4-t，
由勾股定理得，（4-t）²=t²+3²，
解得t=$\frac{7}{8}$．
答：當(dāng)四邊形BPDQ是菱形時(shí)，t=$\frac{7}{8}$；
（3）由（1）得，四邊形BPDQ是平行四邊形，
∴BD與PQ互相平分，即PQ經(jīng)過AC的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)A關(guān)于PQ所在直線的對(duì)稱點(diǎn)A′恰好落在線段AC上，
∴四邊形AQCP是菱形，
∴AQ=AP，即3²+（4-t）²=t²，
解得t=$\frac{25}{8}$，即CQ=$\frac{25}{8}$，
則BQ=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
則四邊形BPDQ的面積是$\frac{7}{8}$×3=$\frac{21}{8}$，
故答案為：$\frac{21}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形、菱形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定，掌握一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形、對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理和軸對(duì)稱的應(yīng)用．