Question

11．請直接寫出$\sqrt{（2m-3）^{2}+1}$+$\sqrt{（8-2m）^{2}+4}$的最小值為$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理得出AC，CE的長進(jìn)而得出用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若點C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小，利用勾股定理求出即可．

解答 解：如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=5，設(shè)CD=2m-3．
∵CD=2m-3，BD=5，
∴CB=8-2m，
AC+CE=$\sqrt{（2m-3）^{2}+1}$+$\sqrt{（8-2m）^{2}+4}$，
A、C、E在同一直線上，AC+CE最�。�
當(dāng)A、C、E在同一直線上時，
延長AB，作EF⊥AB于點F，
∵AB=2，DE=1，
∴AF=3，
∵∠ABD=90°，
∴∠FBD=90°，
∵∠BDE=∠BFE=90°，
∴四邊形BFED是矩形，
∴BD=EF=5，
∴AE=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴$\sqrt{（2m-3）^{2}+1}$+$\sqrt{（8-2m）^{2}+4}$的最小值為$\sqrt{34}$
故答案為：$\sqrt{34}$．

點評 本題主要考查了最短路線問題以及勾股定理應(yīng)用，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關(guān)鍵．