Question

11．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，請直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．
（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？請求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由A、C的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）可設(shè)出P點坐標，則可表示出PC、PD和CD的長，分PD=CD、PC=CD兩種情況分別得到關(guān)于P點坐標的方程，可求得P點坐標；
（3）由B、C的坐標可求得直線BC的解析式，可設(shè)出E點坐標，則可表示出F點的坐標，從而可表示出EF的長，可表示出△CBF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值及此時點E的坐標．

解答 解：
（1）∵A（-1，0），C（0，2）在拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴拋物線對稱軸為直線x=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，0），且C（0，2），
∴CD=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∵點P在對稱軸上，
∴可設(shè)P（$\frac{3}{2}$，t），
∴PD=|t|，PC=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（t-2）^{2}}$，
當(dāng)PD=CD時，則有|t|=$\frac{5}{2}$，解得t=±$\frac{5}{2}$，此時P點坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；
當(dāng)PC=CD時，則有$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（t-2）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，解得t=0（與D重合，舍去）或t=4，此時P點坐標為（$\frac{3}{2}$，4）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，4）；

（3）當(dāng)y=0時，即-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x=-1或x=4，
∴A（-1，0），B（4，0），

設(shè)直線BC解析式為y=kx+s，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{s=2}\\{4k+s=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{s=2}\\{k=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵點E是線段BC上的一個動點，
∴可設(shè)E（m，-$\frac{1}{2}$m+2），則F（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），
∴EF=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²+2m=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2，
∴S_△CBF=$\frac{1}{2}$×4•EF=2[=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2]=-（m-2）²+4，
∵-1＜0，
∴當(dāng)m=2時，S_△CBF有最大值，最大值為4，
此時-$\frac{1}{2}$x+2=1，
∴E（2，1），即E為BC的中點，
∴當(dāng)E運動到BC的中點時，△CBF的面積最大，最大面積為4，此時E點坐標為（2，1）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用P點的坐標表示出PC和PD是解題的關(guān)鍵，在（3）中用E點坐標表示出△CBF的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．