Question

13．已知：矩形ABCD中，AD＞AB，O是對角線的交點，過O任作一直線分別交BC、AD于點M、N，四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN，若△CDN的面積與△AMN的面積比為1：3，求$\frac{DN}{MN}$的值．

Answer 1

分析 由翻折的性質(zhì)得到AM=CM，AE=CD，∠E=∠D，∠AMN=∠CMN，通過△ANE≌△CND，得到AN=CN．由矩形的性質(zhì)得到∠ANM=∠CMN，證得AM=AN，根據(jù)已知條件和三角形的面積公式得到DN：CM=1：3，設(shè)DN=k，則CN=CM=3k，過N作NG⊥MC于點G，則CG=DN=k，MG=CM-CG=2k，求出NG=$\sqrt{C{N}^{2}-C{G}^{2}}$=2$\sqrt{2}$k，MN=$\sqrt{M{G}^{2}+N{G}^{2}}$=2$\sqrt{3}$k，即可得到結(jié)論．

解答 解：由翻折的性質(zhì)得，AM=CM，AE=CD，∠E=∠D，∠AMN=∠CMN，
又∵∠ANE=∠CND，
在△ANE與△CND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠D}\\{∠ANE=∠CND}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ANE≌△CND，
∴AN=CN．
∵AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∵S_△CDN=$\frac{1}{2}$DN•CD，S_△CMN=$\frac{1}{2}$CM•CD，
又∵S_△CDN：S_△CMN=1：3，
∴DN：CM=1：3，
設(shè)DN=k，則CN=CM=3k，
過N作NG⊥MC于點G，
則CG=DN=k，MG=CM-CG=2k，
NG=$\sqrt{C{N}^{2}-C{G}^{2}}$=2$\sqrt{2}$k，
∴MN=$\sqrt{M{G}^{2}+N{G}^{2}}$=2$\sqrt{3}$k，
∴$\frac{DN}{MN}$=$\frac{k}{2\sqrt{3}k}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等；也考查了勾股定理、矩形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)．