Question

20．已知拋物線C₁：y=x²+2x-3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線C₂：y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（-4，0），與y軸交于點(diǎn)D（0，2）．
（1）求拋物線C₂的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線C₁于點(diǎn)M，交拋物線C₂于點(diǎn)N．
①當(dāng)四邊形AMBN的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)CM=DN≠0時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）可先求得A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線C₂的解析式；
（2）可設(shè)P（x，0），①則可表示出M、N的坐標(biāo)，可表示出MN的長(zhǎng)，從而可用x表示出四邊形AMBN的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得當(dāng)其取最大值時(shí)x的值，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
②分CM和DN平行和不平行兩種情況，分別構(gòu)造全等三角形可得到關(guān)于x的方程，從而可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=x²+2x-3中，令y=0可得0=x²+2x-3，解得x=-3或x=1，令x=0可得y=-3，
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），
設(shè)拋物線C₂的解析式為y=ax²+bx+c，
把B、D、E三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線C₂的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；

（2）設(shè)P（x，0）（-3＜x＜1），則M（x，x²+2x-3），N（x，-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2），
①∵點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，
∴MN=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2-（x²+2x-3）=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x+5，
∴S_{四邊形AMBN}=$\frac{1}{2}$AB•MN=$\frac{1}{2}$×4（-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x+5）=-3x²-7x+10=-3（x+$\frac{7}{6}$）²+$\frac{169}{12}$，
∵-3＜0，
∴當(dāng)x=-$\frac{7}{6}$時(shí)，S_{四邊形AMBN}有最大值，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{7}{6}$，0）；

②分CM和DN平行和不平行兩種情況，
當(dāng)CM與DN不平行時(shí)，如圖1，作MF⊥CD于F，NG⊥CD于G，

在Rt△MFC和Rt△NGD中
$\left\{\begin{array}{l}{MF=NG}\\{MC=ND}\end{array}\right.$
∴Rt△MFC≌Rt△NGD（HL），
∴FC=GD，
∴PM-PN=FO-OG=OC-OD=3-2=1，
∴-x²-2x+3-（-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2）=1，解得x=-1或x=0（舍去），
∴P（-1，0）；
當(dāng)CM∥DN時(shí)，如圖2，

則四邊形MNDC為平行四邊形，
∴MN=CD=2+3=5，
∴-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{7}{2}$x+5=5，解得x=0（舍去）或x=-$\frac{7}{3}$，
∴P（-$\frac{7}{3}$，0）；
綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）或（-$\frac{7}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、四邊形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中求得B點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示出MN的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．