Question

8．矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊CD、AB上，且DE=BF．∠ECA=∠FCA．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AB=8，BC=4，求菱形AFCE的面積．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再證明FA=FC，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得出結(jié)論；
（2）設(shè)DE=x，則AE=EC=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理列方程求得x的值，再求菱形的面積即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵DE=BF，
∴EC=AF，
而EC∥AF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
由DC∥AB可得∠ECA=∠FAC，
∵∠ECA=∠FCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴平行四邊形AFCE是菱形；
（2）解：設(shè)DE=x，則AE=EC=8-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得
4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，
∴菱形的邊長(zhǎng)EC=8-3=5，
∴菱形AFCE的面積為：4×5=20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定、菱形的面積、勾股定理，第2問中知道矩形的四個(gè)角都是直角，確定一個(gè)直角三角形，設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求菱形的邊長(zhǎng)．