Question

10．如圖，在四邊形ABCE中，∠ABC=45°，AE=CE，連接AC，∠ACB=30°，過A作AD⊥AE交BC于D．若AD=AE，則$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 作DH⊥AB于H，DM⊥AC于M，EN⊥AC于N，如圖，先證明△DAM≌△AEN得到DM=AN，再利用等腰三角形的性質(zhì)得AC=2AN，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD=2DM，則CD=CA，于是可計(jì)算出∠DAB=30°，設(shè)DH=a，則AD=2a，AH=$\sqrt{3}$a，BH=DH=a，然后計(jì)算$\frac{AD}{AB}$的值．

解答 解：作DH⊥AB于H，DM⊥AC于M，EN⊥AC于N，如圖，
∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，即∠DAM+∠NAE=90°，
而∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠ADM=∠NAE，
在△DAM和△AEN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠ANE}\\{∠ADM=∠NAE}\\{DA=AE}\end{array}\right.$
∴△DAM≌△AEN，
∴DM=AN，
∵EA=EC，
∴AN=CN，
∴AC=2AN，
在Rt△CDM中，∵∠DCM=30°，
∴CD=2DM，
∴CD=CA，
∴∠ADC=∠DAC=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
而∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠DAB=75°-45°=30°，
設(shè)DH=a，則AD=2a，AH=$\sqrt{3}$a，BH=DH=a，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2a}{\sqrt{3}a+a}$=$\sqrt{3}$-1．
故答案為$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定于性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．