Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，AB=2，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD．
（1）求k的值和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如果在第二象限有一點(diǎn)P（a，$\frac{1}{2}}$），使得△ABP的面積與正方形ABCD的面積相等，求a的值；
（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在x軸上的點(diǎn)Q？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)O所有可能的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理可求得OA的長，則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線AB解析式可求得k的值；
（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過E作EE∥x軸交AB于點(diǎn)F，由點(diǎn)P在直線EF上，過P作PG⊥AB于點(diǎn)G，由面積相等可求得PG的長，再利用直角三角形的性質(zhì)可求得PF的長，則可求得a的值；
（3）可設(shè)Q（x，0），則可表示出AQ、BQ和AB的長，分AQ=BQ、AQ=AB和BQ=AB三種情況，分別得到關(guān)于x的方程，可求得x的值，則可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=kx+1中，令x=0可得y=1，
∴B（0，1），即OB=1，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，0），
代入直線解析式可得0=$\sqrt{3}$k+1，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為E，
則E（0，$\frac{1}{2}$），
過E作EF∥x軸交AB于點(diǎn)F，
∵P（a，$\frac{1}{2}$），
∴點(diǎn)P在直線EF上，
過P作PG⊥AB于點(diǎn)G，

∵△ABP的面積與正方形ABCD的面積相等，
∴$\frac{1}{2}$AB•PG=AB²，
∴PG=2AB=4，
由（1）可知∠BAO=30°，
∴∠PFG=30°，
∴PF=2PG=8，
由（1）可知直線AB解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，當(dāng)y=$\frac{1}{2}$時(shí)，可得$\frac{1}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-a=8，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-8；
（3）設(shè)Q（x，0），
∵A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），
∴AQ=|x-$\sqrt{3}$|，BQ=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∵△ABQ為等腰三角形，
∴有AQ=BQ、AQ=AB和BQ=AB三種情況，
①當(dāng)AQ=BQ時(shí)，即|x-$\sqrt{3}$|=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此時(shí)Q（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）；
②當(dāng)AQ=AB時(shí)，即|x-$\sqrt{3}$|=2，解得x=$\sqrt{3}$+2或x=$\sqrt{3}$-2，此時(shí)Q（$\sqrt{3}$+2，0）或（$\sqrt{3}$-2，0）；
③當(dāng)BQ=AB時(shí)，則|$\sqrt{{x}^{2}+1}$=2，解得x=±$\sqrt{3}$，此時(shí)Q（$\sqrt{3}$，0）或（-$\sqrt{3}$，0）；
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）或（$\sqrt{3}$+2，0）或（$\sqrt{3}$-2，0）或（$\sqrt{3}$，0）或（-$\sqrt{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中求得OA的長是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得點(diǎn)P到直線AB的距離是解題的關(guān)鍵，在（3）中用Q的坐標(biāo)表示出AQ和BQ的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．