Question

6．已知△ABC和△BDE中，∠ABC=∠CDE=90°，CB=CD，連結(jié)BD、AE交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若∠CAB=∠CED，探究AF與EF之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，若∠CAB=∠ECD=α，求$\frac{AF}{FE}$的值（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）過A作AH⊥CD與H，交BD于G，由∠CDE=∠ABC=90°，于是得到AG∥ED，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FED=∠FAG，∠FDE=∠FGA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CDB=∠CBD，由余角的性質(zhì)得到∠BGA=∠DGH=∠ABD，求得△ABG是等腰三角形，得到AB=AG，推出△ABC≌△CDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=DE，等量代換得到AG=DE，證得△EFD≌△AGF，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)△FAG∽△FDE，于是得到$\frac{AF}{EF}=\frac{ED}{AG}$，等量代換得到$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{AG}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義對對對AB=$\frac{CB}{tanα}$，ED=$\frac{CD}{tanα}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）過A作AH⊥CD與H，交BD于G，
∵∠CDE=∠ABC=90°，
∴AG∥ED，
∴∠FED=∠FAG，∠FDE=∠FGA，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠DGH+∠CDB=90°，
∵∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠BGA=∠DGH=∠ABD，
∴△ABG是等腰三角形，
∴AB=AG，
在△ABC與△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠CDE}\\{∠BAC=∠DCE}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDE，
∴AB=DE，
∴AG=DE，
在△DEF與△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FED=∠GAF}\\{∠EFC=∠AFG}\\{EF=AG}\end{array}\right.$，
∴△EFD≌△AGF，
∴EF=AF；

（2）∵∠FED=∠FAG，∠FDE=∠FGA，
∴△FAG∽△FDE，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{ED}{AG}$，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{AG}$，
∵∠CAB=∠ECD=α，
∴AB=$\frac{CB}{tanα}$，ED=$\frac{CD}{tanα}$，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．