Question

17．閱讀理解：

方法準備：
我們都知道：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，若AD=a，BC=b，AB=c，那么四邊形ABCD的面積S=$\frac{（a+b）×c}{2}$．
如圖2，在四邊形ABCD中，兩條對角線AC⊥BD，垂足為O，則四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$AC×OD+$\frac{1}{2}$AC×OB=$\frac{1}{2}$AC×（OD+OB）=$\frac{1}{2}$AC×BD．
解決問題：
（1）我們以a、b 為直角邊，c為斜邊作兩個全等的直角△ABE與△FCD，再拼成如圖3所示的圖形，使B，E，F(xiàn)，C四點在一條直線上（此時E，F(xiàn)重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF． 請你證明：a²+b²=c²．
（2）固定△FCD，再將△ABE沿著BC平移到如圖4所示的位置（此時B，F(xiàn)重合），請你繼續(xù)證明：a²+b²=c²．
（3）當△ABE平移到如圖5的位置，結(jié)論a²+b²=c²還成立嗎？如果成立，請寫出證明過程；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AD，由四邊形ABCD的面積=△ABE的面積+△FCD的面積+△ADE的面積，得出$\frac{1}{2}$（a+b）²=$\frac{1}{2}$ab×2+$\frac{1}{2}$c²，即可得出結(jié)論；
（2）連接AD、DE，四邊形ABCD的面積=四邊形ABED的面積+△DCE的面積，得出$\frac{1}{2}$（a+b）×a=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$b（a-b），即可得出結(jié)論；
（3）連接AF、AD、DE，設CE=x，則BE=b，F(xiàn)B=a-b-x，由△ABF的面積+四邊形ABCD的面積=四邊形AFED的面積+△CDE的面積，得出$\frac{1}{2}$a（a-b-x）+$\frac{1}{2}$（a+b）（b+x）=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$bx，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AD，如圖1所示：
則四邊形ABCD是直角梯形，
∴四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
∵四邊形ABCD的面積=△ABE的面積+△FCD的面積+△ADE的面積，
即$\frac{1}{2}$（a+b）²=$\frac{1}{2}$ab×2+$\frac{1}{2}$c²，
化簡得：（a+b）²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²；
（2）證明：連接AD、DE，如圖2所示：
則四邊形ABCD的面積=四邊形ABED的面積+△DCE的面積，
即$\frac{1}{2}$（a+b）×a=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$b（a-b），
化簡得：ab+a²=c²+ab-b²，
∴a²+b²=c²；
（3）成立；理由如下：
連接AF、AD、DE，如圖3所示：
設CE=x，則BE=b，F(xiàn)B=a-b-x，
∵△ABF的面積+四邊形ABCD的面積=四邊形AFED的面積+△CDE的面積，
∴$\frac{1}{2}$a（a-b-x）+$\frac{1}{2}$（a+b）（b+x）=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$bx，
化簡得：a²-ab-ax+ab+ax+b²+bx=c²+bx，
∴a²+b²=c²．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了勾股定理的證明、四邊形面積的計算方法、三角形面積的計算等知識；本題綜合性強，通過作輔助線，運用面積法證明勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．