Question

20．如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB于E，在線段
AB上，連接EF、CF．則下列結(jié)論：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S_△BEC=2S_△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正確的是（　　）

• A． ②④
• B． ①②④
• C． ①②③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 利用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案．

解答 解：①∵F是AD的中點(diǎn)，
∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCD=2∠DCF，故①正確；
②延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F為AD中點(diǎn)，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FDM}\\{AF=DF}\\{∠AFE=∠DFM}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，
∴∠ECF=∠CEF，故②正確；
③∵EF=FM，
∴S_△EFC=S_△CFM，
∵M(jìn)C＞BE，
∴S_△BEC＜2S_△EFC，
故S_△BEC=2S_△CEF，故③錯(cuò)誤；
④設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正確，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是得出△AEF≌△DME．