Question

8．已知⊙O上兩個(gè)定點(diǎn)A、B和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C、D，AC與BD交于點(diǎn)E．
（1）如圖，求證：EA•EC=EB•ED；
（2）知圖，若$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，AD是⊙O的直徑，求證：AD•AC=2BD•BC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到角相等，從而證得三角形相似，于是得到結(jié)論；
（2）如圖，連接CD，OB交AC于點(diǎn)F，由B是弧AC的中點(diǎn)得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=$\frac{1}{2}$AC．證得△CBF∽△ABD．即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，
∴△AED∽△BEC，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{CE}$，
∴EA•EC=EB•ED；

（2）證明：如圖，連接CD，OB交AC于點(diǎn)F
∵B是弧AC的中點(diǎn)，
∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=$\frac{1}{2}$AC．
又∵AD為⊙O直徑，
∴∠ABC=90°，又∠CFB=90°．
∴△CBF∽△ABD．
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{BC}{AD}$，
故CF•AD=BD•BC．
∴AC•AD=2BD•BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．