Question

16．如圖，在正方形ABCD中，動點P在射線CB上（與B、C不重合），連結(jié)AP，過D作DF∥AP交直線BC于點F，過F作FE⊥直線BD于點E，連結(jié)AE、PE．
（1）如圖1，當點P在線段CB上時
①求證：△ABP≌△DCF；
②點P在運動過程中，探究：△AEP的形狀是否發(fā)生變化，若不變，請判斷△AEP的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，當點P在CB的延長線上時
①（1）中的結(jié)論②是否成立？不必說明理由；
②若正方形ABCD的邊長為1，設BP=x，當x為何值時，DF平分∠BDC？

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=DC，∠ABC=∠DCF=90°，利用AAS定理證明△ABP≌△DCF；
②證明△ABE≌△CBE，得到AE=CE，∠AEB=∠CEB，證明△EBP≌△EFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；
（2）①利用與（1）相似的方法解答；
②根據(jù)角平分線的性質(zhì)列出方程，解方程即可．

解答 （1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCF=90°，
∵DF∥AP，
∴∠APB=∠DFC，
在△ABP和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠DFC}\\{∠ABP=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DCF；
②△AEP的形狀不發(fā)生變化，△AEP是等腰直角三角形，
理由：連結(jié)CE，
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，∠AEB=∠CEB，
∵FE⊥BD，∠EBF=45°，
∴EB=EF，∠EBF=∠EFB=45°
∵△ABP≌△DCF，
∴BP=FC，
∴△EBP≌△EFC，
∴EP=EC，∠BEP=∠FEC，
∴AE=EP，
∠AEB+∠BEP=∠BEC+∠CEF=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形；
（2）①（1）中的結(jié)論②成立，
證明方法與（1）相同；
②若DF平分∠BDC，
則EF=CF，
∵CF=BP=x，
∴BF=1-x，
∵△BEF是等腰直角三角形
∴BF=$\sqrt{2}$EF，
∴1-x=$\sqrt{2}$x，
解得x=$\sqrt{2}$-1，
∴當x=$\sqrt{2}$-1時，DF平分∠BDC．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握相關的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵．