Question

12．如圖，ABCD為正方形，O為AC、BD的交點，△DCE為Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，則正方形的面積為4．

Answer 1

分析 過點O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延長線于N，根據(jù)正方形的性質(zhì)和AAS證明△COM與△DON全等，再利用勾股定理進行解答即可．

解答 解：如圖，過點O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延長線于N，

∵∠CED=90°，
∴四邊形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠COM=∠DON}\\{∠N=∠CMO=90°}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM=ON，
∴四邊形OMEN是正方形，
設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則OC=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2a=$\sqrt{2}$a，
∵∠CED=90°，∠DCE=30°，
∴CD=2a，DE=a，
由勾股定理得，得$CE=\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}=\sqrt{（2a）^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{3}a$，
∵OE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴四邊形OCED的面積=$\frac{1}{2}a•\sqrt{3}a+\frac{1}{2}（\sqrt{2}a）（\sqrt{2}a）$
四邊形OMEN的面積=$\frac{1}{2}×（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}）^{2}$，
∵四邊形OCED的面積=四邊形OMEN的面積，即可得：$\frac{1}{2}a•\sqrt{3}a+\frac{1}{2}（\sqrt{2}a）（\sqrt{2}a）$=$\frac{1}{2}×（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}）^{2}$，
解得a²=1，
∴正方形ABCD的面積=（2a）²=4a²=4×1=4，
故答案為：4

點評 此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)進行分析，利用勾股定理進行解答．