Question

5．如圖，正方形ABCD的邊長為10cm，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH．
（1）求證：四邊形EFGH是正方形；
（2）判斷直線EG是否一定經(jīng)過正方形ABCD內(nèi)部一個定點(diǎn)，并說明理由；
（3）猜想當(dāng)E點(diǎn)位于AB上何處時，正方形EFGH面積最�。ú灰�求證明）．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，證出AH=BE=CF=DG，由SAS證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，證出四邊形EFGH是菱形，再證出∠HEF=90°，即可得出結(jié)論；
（2）連接AC、EG，交點(diǎn)為O；先證明△AOE≌△COG，得出OA=OC，證出O為對角線AC、BD的交點(diǎn)，即O為正方形的中心；
（3）設(shè)四邊形EFGH面積為S，BE=xcm，則BF=（10-x）cm，由勾股定理得出S=x²+（10-x）²=2（x-5）²+50，S是x的二次函數(shù)，容易得出x=5時，四邊形EFGH的面積最�。�

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG，
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF=CG=DH}&{\;}\\{∠BAD=∠B=∠BCD=∠D}&{\;}\\{AH=BE=CF=DG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四邊形EFGH是正方形；
（2）解：直線EG經(jīng)過一個定點(diǎn)，這個定點(diǎn)為正方形的中心（AC、BD的交點(diǎn)）；理由如下：
連接AC、EG，交點(diǎn)為O；如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCG，
在△AOE和△COG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCG}&{\;}\\{∠AOE=∠COG}&{\;}\\{AE=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OA=OC，OE=OG，
即O為AC的中點(diǎn)，
∵正方形的對角線互相平分，
∴O為對角線AC、BD的交點(diǎn)，即O為正方形的中心；
（3）解：設(shè)四邊形EFGH面積為S，設(shè)BE=xcm，則BF=（10-x）cm，
根據(jù)勾股定理得：EF²=BE²+BF²=x²+（10-x）²，
∴S=x²+（10-x）²=2（x-5）²+50，
∵2＞0，
∴S有最小值，
當(dāng)x=5時，S的最小值=50，
即E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)時，四邊形EFGH面積的最小值為50cm²．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)與判定、菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的最值等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（2）（3）中，需要通過作輔助線證明三角形全等和運(yùn)用二次函數(shù)才能得出結(jié)果．