Question

3．如圖1，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC=120°．動點(diǎn)P從點(diǎn)A 出發(fā)沿折線段AD-DC，以每秒1個單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒（t＞0）．
（1）求菱形ABCD的面積；
（2）如圖1，點(diǎn)E在對角線BD上且DE=2EB，連接AE．在點(diǎn)P從A點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)動過程中，是否存在△AEP是直角三角形的時刻？若存在，請求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，過點(diǎn)P作PQ⊥AB 于Q點(diǎn)，以PQ為一邊，PM為另一邊向右作矩形PQNM，其中PM=4，在運(yùn)動過程中當(dāng)Q點(diǎn)與B點(diǎn)重合時運(yùn)動停止，設(shè)矩形PQNM與菱形ABCD重合部分的面積為S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相對應(yīng)的自變量的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由菱形ABCD的邊長為6，∠ABC=120°，知菱形的面積等于等邊三角形ABD面積的2倍；
（2）存在；EP⊥AD時，點(diǎn)P在AD上或PE⊥AE時，點(diǎn)P在DC上；用勾股定理和三角形相似解決；
（3）分四種情況分類討論，①0≤t＜4；②4≤t＜3$\sqrt{3}$；③3$\sqrt{3}$≤t＜8；④8≤t≤9．

解答 解：（1）∵菱形ABCD的邊長為6，∠ABC=120°
∴S菱形ABCD=2S△ABD=$\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$；
（2）存在；
當(dāng)EP⊥AD時，點(diǎn)P在AD上，如圖1，作EP⊥AD，
∵DE=$\frac{2}{3}$BD=4，∠ADB=60°，
∴PD=2，AP=4，
∴t=4；
當(dāng)PE⊥AE時，點(diǎn)P在DC上，如圖2，作PE⊥AE，AG⊥BD，PF⊥BD，
∵PD=t-6，∠PDB=60°，
∴PF=$\sqrt{3}$（t-6），DF=$\frac{t-6}{2}$，
∴EF=4-$\frac{t-6}{2}$=$\frac{14-t}{2}$，
∵AG=3$\sqrt{3}$，DG=3，
∴GE=1
∵△AGE∽△EFP，
∴$\frac{PF}{EG}=\frac{EF}{AG}$，
∴$\frac{\sqrt{3}（t-6）}{1}=\frac{\frac{14-t}{2}}{3\sqrt{3}}$，
解得：t=$\frac{86}{13}$；
（3）①當(dāng)0≤t＜4時，S=2$\sqrt{3}$t；
②當(dāng)4≤t＜3$\sqrt{3}$時，S=2$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}（t-4）^{2}}{8}$=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²+3$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$；
③當(dāng)3$\sqrt{3}$≤t＜8時，S=12$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}（t-5）^{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+5$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
④當(dāng)8≤t≤9時，S=12$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×[（t-5）+（t-8）]×3$\sqrt{3}$=-3$\sqrt{3}$t+$\frac{63\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了幾何變換中的動點(diǎn)問題，涉及到了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，三角形的相似的判定與性質(zhì)；解決此類問題的關(guān)鍵是能分析出各種情況的位置，分類討論做到不重不漏，嚴(yán)密思考．