Question

7．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁≠x₂），若AB的中點是（p，0），AB的長度是2$\sqrt{{p}^{2}+4q}$，求二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 利用兩點間的距離公式得到|x₁-x₂|=2$\sqrt{{p}^{2}+4q}$，兩邊平方后變形得到（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4p²+16q，再利用線段中點坐標公式得到x₁+x₂=2p，所以4p²-4x₁x₂=4p²+16q，整理得x₁x₂=-4q，然后利用交點式寫出二次函數(shù)解析式．

解答 解：∵A（x₁，0）、B（x₂，0）
∴AB=|x₁-x₂|，
又∵AB的長度是2$\sqrt{{p}^{2}+4q}$，
∴|x₁-x₂|=2$\sqrt{{p}^{2}+4q}$，
兩邊平方得x₁²+x₂²-2x₁x₂=4p²+16q，
（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4p²+16q，
又∵AB的中點是（p，0），
∴x₁+x₂=2p，
∴4p²-4x₁x₂=4p²+16q，
∴x₁x₂=-4q，
∴二次函數(shù)解析式為y=x²-2px-4q．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．