Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A（m，2），將直線y=2x向下平移4個(gè)單位后與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)P，則k=2；△POA的面積為2．

Answer 1

分析 根據(jù)直線y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A（m，2），可以求得m的值和k的值，從而可以求得反比例函數(shù)的解析式，由直線y=2x向下平移4個(gè)單位可以得到平移后的函數(shù)解析式，從而可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求得OP的函數(shù)解析式，然后根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而可以得到△POA的面積．

解答 解：∵y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A（m，2），
∴2=2x，得x=1，
∴m=1，
∴2=$\frac{k}{1}$，得k=2，
直線y=2x向下平移4個(gè)單位后的函數(shù)解析式為y=2x-4，
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+1}\\{y=2\sqrt{2}-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}+1}\\{y=-2\sqrt{2}-2}\end{array}\right.$（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}+1$，$2\sqrt{2}-2$），
設(shè)OP對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=ax，
$2\sqrt{2}-2=a×（\sqrt{2}+1）$，
得a=6-4$\sqrt{2}$，
∴OP對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=（6-4$\sqrt{2}$）x，
當(dāng)x=1時(shí)，y=（6-4$\sqrt{2}$）×1=6-4$\sqrt{2}$，
∴△POA的面積是：$\frac{2-（6-4\sqrt{2}）}{2}×（\sqrt{2}+1）$=2，
故答案為：2，2．

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、一次函數(shù)圖象與幾何變化，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．