Question

20．月電科技有限公司用160萬元，作為新產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，成功研制出了一種市場(chǎng)急需的電子產(chǎn)品，已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進(jìn)行銷售．已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為4元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每年的年銷售量y（萬件）與銷售價(jià)格x（元/件）的關(guān)系如圖所示，其中AB為反比例函數(shù)圖象的一部分，BC為一次函數(shù)圖象的一部分．設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤為s（萬元）．（注：若上一年盈利，則盈利不計(jì)入下一年的年利潤；若上一年虧損，則虧損計(jì)作下一年的成本．）
（1）請(qǐng)求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤s（萬元）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第一年年利潤的最大值．
（3）假設(shè)公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤s（萬元）取得最大值時(shí)進(jìn)行銷售，現(xiàn)根據(jù)第一年的盈虧情況，決定第二年將這種電子產(chǎn)品每件的銷售價(jià)格x（元）定在8元以上（x＞8），當(dāng)?shù)诙�年的年利潤不低�?03萬元時(shí)，請(qǐng)結(jié)合年利潤s（萬元）與銷售價(jià)格x（元/件）的函數(shù)示意圖，求銷售價(jià)格x（元/件）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)待定系數(shù)法，即可求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)x=8時(shí)，s_max=-80；當(dāng)x=16時(shí)，s_max=-16；根據(jù)-16＞-80，可得當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為16元時(shí)，第一年年利潤的最大值為-16萬元．
（3）根據(jù)第二年的年利潤s=（x-4）（-x+28）-16=-x²+32x-128，令s=103，可得方程103=-x²+32x-128，解得x₁=11，x₂=21，然后在平面直角坐標(biāo)系中，畫出s與x的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可得出銷售價(jià)格x（元/件）的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)4≤x≤8時(shí)，設(shè)y=$\frac{k}{x}$，將A（4，40）代入得k=4×40=160，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{160}{x}$；
當(dāng)8＜x≤28時(shí)，設(shè)y=k'x+b，將B（8，20），C（28，0）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{8k'+b=20}\\{28k'+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k'=-1}\\{b=28}\end{array}\right.$，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+28，
綜上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{160}{x}（4≤x≤8）}\\{-x+28（8＜x≤28）}\end{array}\right.$；

（2）當(dāng)4≤x≤8時(shí)，s=（x-4）y-160=（x-4）•$\frac{160}{x}$-160=-$\frac{640}{x}$，
∵當(dāng)4≤x≤8時(shí)，s隨著x的增大而增大，
∴當(dāng)x=8時(shí)，s_max=-$\frac{640}{8}$=-80；
當(dāng)8＜x≤28時(shí)，s=（x-4）y-160=（x-4）（-x+28）-160=-（x-16）²-16，
∴當(dāng)x=16時(shí)，s_max=-16；
∵-16＞-80，
∴當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為16元時(shí)，第一年年利潤的最大值為-16萬元．

（3）∵第一年的年利潤為-16萬元，
∴16萬元應(yīng)作為第二年的成本，
又∵x＞8，
∴第二年的年利潤s=（x-4）（-x+28）-16=-x²+32x-128，
令s=103，則103=-x²+32x-128，
解得x₁=11，x₂=21，
在平面直角坐標(biāo)系中，畫出s與x的函數(shù)示意圖可得：

觀察示意圖可知，當(dāng)s≥103時(shí)，11≤x≤21，
∴當(dāng)11≤x≤21時(shí)，第二年的年利潤s不低于103萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在商品經(jīng)營活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤，最大銷量等問題，解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義；解題時(shí)注意，依據(jù)函數(shù)圖象可得函數(shù)關(guān)系式為分段函數(shù)，解決問題時(shí)需要運(yùn)用分類思想以及數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解．