Question

2．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，點P從點A開始沿AD邊向點D以1cm/秒的速度移動，點Q從點C開始沿CB邊向點B以2cm/秒的速度移動．如果P、Q分別從A、C同時出發(fā)．設(shè)移動的時間為t．
求：（1）t為何值時，梯形PQCD是等腰梯形；
（2）t為何值時，AB的中點E到線段PQ的距離為7cm．

Answer 1

分析 （1）過P作PN⊥BC于N，過D作DM⊥BC于M，先證明四邊形ABMD是矩形，從而得到AD=BM，再根據(jù)邊與邊之間的關(guān)系，列一元一次方程3t-21=3，得到t=8，即t=8秒時，梯形PQCD是等腰梯形；
（2）在Rt△PQM中，表示出PM=14，QM=3t-1，然后根據(jù)PM²+QM²=PQ²，得到14²+（3t-21）²=（21-t）²，求得t值即可．

解答 解：如圖1，過P作PN⊥BC于N，過D作DM⊥BC于M，
∵AD∥BC，∠B=90°，DM⊥BC，
∴四邊形ABMD是矩形，AD=BM．
∴MC=BC-BM=BC-AD=3．
又∵QN=BN-BQ=AP-BQ=t-（21-2t）=3t-21．
若梯形PQCD為等腰梯形，則QN=MC=3．
得3t-21=3，t=8，
即t=8秒時，梯形PQCD是等腰梯形．

（2）如圖2，過E作EF⊥PQ于F，連接PE，EQ，當(dāng)EF=7cm時，
∵AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×14=7cm，
∴AE=EF=BE，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∵PE=PE，EQ=EQ，
∴△AEP≌△FEP，△BEQ≌△FEQ，
∴PA=PF=t，BQ=FQ=21-2t，
∴PQ=PF+FQ=21-t，
在Rt△PQM中，PM=14，QM=3t-1，
∵PM²+QM²=PQ²，
∴14²+（3t-21）²=（21-t）²，
解得：t=3.5或t=7，
∴當(dāng)t為3.5或7時，AB的中點E到線段PQ的距離為7cm．

點評 此題主要考查了等腰梯形以及直角梯形和平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握它們的定義是解題關(guān)鍵．