Question

14．如圖甲，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（點(diǎn)B在x軸的正半軸上），與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D，已知AB=4，∠OBC=45°，tan∠OAC=3．
（1）求該拋物線(xiàn)的解析式．

（2）連接DB，DC，求證：sin（∠OBD-∠OCA）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）如圖乙，E、F分別是線(xiàn)段AC、BC上的點(diǎn)，以EF所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，把△CEF作軸對(duì)稱(chēng)變換得△C′EF，點(diǎn)C′恰好在x軸上，當(dāng)C′E⊥AC時(shí)，
①求EF的長(zhǎng)；
②在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以E、F、C′、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)OA=m．由tan∠OAC=3，得出OC=3OA=3m，由△OBC是等腰直角三角形得出OB=OC=3m，根據(jù)AB=OA+OB=4m=4，求出m=1，得到A（-1，0），B（3，0），C（0，3），再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）先利用配方法求出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再計(jì)算得出BC²+CD²=BD²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠DCB=90°，由tan∠CDB=3，得到∠CDB=∠OAC，根據(jù)等角的余角相等得出∠CBD=∠OCA，那么sin（∠OBD-∠OCA）=sin∠OBC=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）①根據(jù)折疊的性質(zhì)得出CE=C′E，設(shè)AE=n，由tan∠OAC=3，得到CE=C′E=3n，那么CE=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，再證明△CEF∽△CBA，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出EF=$\sqrt{5}$；
②先由△CEF∽△CBA，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出CF=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，那么求出F（$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{4}$），E（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），再由△C′EA∽△COA，求出C′A=$\frac{5}{2}$，那么C′（$\frac{3}{2}$，0），然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)OA=m．
∵tan∠OAC=3，
∴OC=3OA=3m，
∵∠OBC=45°，∠COB=90°，
∴∠OCB=45°，
∴OB=OC=3m，
∴AB=OA+OB=4m=4，即m=1，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)為y=a（x+1）（x-3），
將（0，3）代入上式，得3=-3a，解得a=-1，
∴該拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+3；
       
（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D為（1，4），
∵B（3，0），C（0，3），
∴CD=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠DCB=90°，且tan∠CDB=3，
∴∠CDB=∠OAC，即∠CBD=∠OCA，
∴sin（∠OBD-∠OCA）=sin（∠OBD-∠CBD）=sin∠OBC=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
 
（3）①由題意可得CE=C′E，設(shè)AE=n． 
∵tan∠OAC=3，
∴CE=C′E=3n，即CE=$\frac{3}{4}$AC=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$．
∵∠CEF=∠CBA=45°，∠ECF=∠BCA，
∴△CEF∽△CBA，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CE}{BC}$，即$\frac{EF}{4}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{4}}{3\sqrt{2}}$，
∴EF=$\sqrt{5}$；

②∵△CEF∽△CBA，
∴$\frac{CF}{CA}$=$\frac{CE}{BC}$，即$\frac{CF}{\sqrt{10}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{4}}{3\sqrt{2}}$，
∴CF=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴F（$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{4}$），E（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），
∵△C′EA∽△COA，
∴$\frac{C′A}{CA}$=$\frac{C′E}{CO}$，$\frac{C′A}{\sqrt{10}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{4}}{3}$，
∴C′A=$\frac{5}{2}$，
∴C′（$\frac{3}{2}$，0）．
以E、F、C′、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：
Ⅰ）EF為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，C′P與EF的中點(diǎn)重合，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，$\frac{5}{2}$）；
Ⅱ）EF為邊時(shí)，如果FP與C′E的中點(diǎn)重合，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，-1）；如果EP與C′F的中點(diǎn)重合，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，1）．   
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，$\frac{5}{2}$），（-$\frac{1}{2}$，-1），（$\frac{7}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到銳角三角函數(shù)的定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，勾股定理的逆定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．利用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．