Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4與直線y=kx+4交于點(diǎn)A、C，與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．已知tan∠OCA=$\frac{1}{2}$，連接CB．
（1）求△ACB的面積；
（2）已知點(diǎn)M（m，3），求m的值，使得MC+MD有最小值，并求出此最小值；
（3）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，求使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求得C的坐標(biāo)，根據(jù)已知得出A（-2，0），代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4求得b=1，然后令y=0，則0=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，解方程即可求得B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得AB=6，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可；
（2）根據(jù)拋物線的解析式可得出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，作直線y=3，然后再作C關(guān)于直線y=3的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D，交直線y=3于M，M即為所求，MC+MD有最小值就是C′D的長(zhǎng)；設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+n，利用待定系數(shù)法即可求得解析式，然后令y=0，即可求得m的值，根據(jù)勾股定理求得C′D的長(zhǎng)即可．（3）先根據(jù)題意結(jié)合圖形，畫出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置，然后利用平行線的性質(zhì)，及拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可求出三個(gè)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4與直線y=kx+4交于點(diǎn)C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵tan∠OCA=$\frac{1}{2}$，
∴A（-2，0），
代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4求得b=1，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
令y=0，則0=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，解得x=-2或x=4，
∴B（4，0），
∴AB=6，
∴△ACB的面積=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×6×4=12．
（2）由y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
∴D（1，$\frac{9}{2}$），
如圖作直線y=3，然后再作C關(guān)于直線y=3的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D，交直線y=3于M，M即為所求，MC+MD有最小值就是C′D的長(zhǎng)；
∵C（0，4），
∴C′（0，2），
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{k+n=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直線C′D的解析式為y=$\frac{5}{2}$x+2，
把y=3代入得3=$\frac{5}{2}$x+2，解得x=$\frac{2}{5}$，
∴M（$\frac{2}{5}$，3），
∴m=$\frac{2}{5}$；
∴C′D=$\sqrt{（1-0）^{2}+（\frac{9}{2}-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{29}}{2}$，
∴，MC+MD的最小值為$\frac{\sqrt{29}}{2}$．
（3）拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)Q，

①當(dāng)點(diǎn)Q在Q₁位置時(shí)，Q₁的縱坐標(biāo)為4，代入拋物線可得點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（2，4），
∵OA=2，
∴P₁的坐標(biāo)為（0，0），；
②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)Q₂位置時(shí)，點(diǎn)Q₂的縱坐標(biāo)為-4，代入拋物線可得點(diǎn)Q₂坐標(biāo)為（1+$\sqrt{17}$，-4），
∵OA=2，
∴P₂的坐標(biāo)為（3+$\sqrt{17}$，0），；
③當(dāng)點(diǎn)Q在Q₃位置時(shí)，點(diǎn)Q₃的縱坐標(biāo)為-3，代入拋物線解析式可得，點(diǎn)Q₃的坐標(biāo)為（1-$\sqrt{17}$，-4）
∵OA=2，
∴P₃的坐標(biāo)為（3-$\sqrt{17}$，0），；
綜上可得滿足題意的點(diǎn)P有三個(gè)，分別為：P₁（0，0），P₂（3+$\sqrt{17}$，0），Q₃（3-$\sqrt{17}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)以及最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)，解答本題需要我們熟練各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容，認(rèn)真探究題目，謹(jǐn)慎作答