Question

6．已知拋物線y=-（x-2）²+m²（常數(shù)＞0）的頂點為P．設此拋物線與x軸的兩個交點從左至右依次為點A，B．又知∠APB=120°，則△APB的周長是$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$．

Answer 1

分析 求△ABP的周長，關鍵是確定三角形三頂點的坐標．可先根據拋物線的解析式用m表示出A、B兩點的橫坐標，那么AB的差就是這兩個橫坐標的差的絕對值，由于∠APB=90°，可得出△APB是等腰直角三角形，因此P點的縱坐標的絕對值應該是AB長的一半，由此可求出m的值，進而可求出A、B、P三點的坐標，即可求出△ABP的周長．

解答 解：設A、B兩點坐標分別為A（x₁，0）、B（x₂，0）．
由-（x-2）²+m²=0，
∵m＞0，
∴x₁=-m+2，x₂=m+2．
AB=x₂-x₁=（m+2）-（-m+2）=2m．
∵P為拋物線的頂點．
又∵拋物線對稱軸為AB的垂直平分線，設對稱軸于AB交于點D，
∴∠PAB=30°．
∴AD=$\sqrt{3}$PD
∴2$\sqrt{3}$PD=AB．
即2$\sqrt{3}$m²=2m．
∵m＞0．
∴m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
由此可求得：AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AP=BP=$\frac{2}{3}$，
∴△APB的周長為$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質以及一元二次方程根與系數(shù)的關系（即韋達定理）．