Question

11．如圖，△ABC與△BDE中，∠CAB=∠BDE=90°，AC=k•AB，DE=k•DB，P為CE中點(diǎn)，連接PA，PD，探究PA，PD的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件AC=k•AB，DE=k•DB，得到△ABC∽△BDE，求出∠ABC=∠DBE，分別取BC，BE的中點(diǎn)M，N，連接AM，PM，DN，PN，根據(jù)三角形的中位線定理得到AM=PN=$\frac{1}{2}$BC，DN=PM=$\frac{1}{2}$BE，PM∥BN，PN∥BM，于是得到四邊形PNBM是平行四邊形，得到∠BMP=∠BNP，證得△AMP≌△PND，即可得到結(jié)論AP=DP．

解答 解：PA=PD，
∵AC=k•AB，DE=k•DB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{DE}{BD}=k$，
∵∠CAB=∠BDE=90°，
∴△ABC∽△BDE，
∴∠ABC=∠DBE，
分別取BC，BE的中點(diǎn)M，N，
連接AM，PM，DN，PN，
∵P為CE中點(diǎn)，
∴AM=PN=$\frac{1}{2}$BC，DN=PM=$\frac{1}{2}$BE，
∴PM∥BN，PN∥BM，
∴四邊形PNBM是平行四邊形，
∴∠BMP=∠BNP，
∵AM=BM．DN=BN，
∴∠ABM=∠MAB=∠NBD=∠NDB，
∴∠AMB=∠BND，
∴∠AMB+∠BMP=∠DNB+∠BNP，
即∠AMP=∠DNP，
在△AMP與△PND中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=PN}\\{∠AMP=∠PND}\\{PM=DN}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△PND，
∴AP=DP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，正確的周長(zhǎng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．