Question

14．已知，在正方形ABCD中，點(diǎn)F是AD上一點(diǎn)，且AF：FD=1：2，BF與AC交于點(diǎn)G，則△AFG與△BCG的面積之比是1：9．△BGC與△AGB的面積之比是3：1．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=BC，AD∥BC，則利用AF：FD=1：2可得AF：BC=1：3，接著利用AF∥BC可判斷△AGF∽△CGB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{AG}{GC}$=$\frac{AF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△BCG}}$=（$\frac{AF}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，然后利用三角形面積公式易得$\frac{{S}_{△BGC}}{{S}_{△AGB}}$=$\frac{CG}{AG}$=3．

解答 解：如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AF：FD=1：2，
∴AF：BC=1：3，
∵AF∥BC，
∴△AGF∽△CGB，
∴$\frac{AG}{GC}$=$\frac{AF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△BCG}}$=（$\frac{AF}{BC}$）²=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，
∴$\frac{{S}_{△BGC}}{{S}_{△AGB}}$=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{3}{1}$=3．
故答案為1：9；3：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；相似三角形面積的比等于相似比的平分．也考查了正方形的性質(zhì)．