Question

15．如圖，已知點(diǎn)A（n，6），B（6，m）在雙曲線y=$\frac{6}{x}$的圖象上，以AB為直徑的eM與x軸交于點(diǎn)E（3，0）和點(diǎn)F，拋物線y=ax²+bx+12（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、E、F．
（1）填空：n=1，m=1；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與⊙M的另一交點(diǎn)為G，連結(jié)CG，試證明直線CG與⊙M相切．

Answer 1

分析 （1）將兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入到反比例函數(shù)的解析式即可求得m和n的值；
（2）將A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式即可求得a、b的值，從而確定二次函數(shù)的解析式；
（3）得到CG²+MG²=CM²后即可得到△CMG是直角三角形，且MG⊥CG，從而判定直線CG與⊙M相切．

解答 解：（1）∵A（n，6），B（6，m）在雙曲線y=$\frac{6}{x}$的圖象上
∴n=1，m=1；
（2）依題意，把A（1，6），E（3，0）代入y=ax²+bx+12中，
得$\left\{\begin{array}{l}a+b+12=6\\ 9a+3b+12=0\end{array}\right.$（4分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-7\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-7x+12；
（3）由（2）有拋物線解析式為y=x²-7x+12，
令x=0，則y=12，
∴C（0，12），
∵A（1，6），B（6，1）
∴M（$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{2}$），
∵點(diǎn)A、G關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸$x=\frac{7}{2}$對(duì)稱
∴G（6，6），
連結(jié)CM，MG，AG，延長(zhǎng)GA交y軸于點(diǎn)I，過(guò)M點(diǎn)作MN⊥AG于N，
過(guò)M點(diǎn)作y軸的垂線，交y軸于H點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可求得：CM²=MH²+CH²=3.5²+8.5²=85，
CG²=GI²+CI²=6²+6²=72，
MG²=MN²+NG²=2.5²+2.5²=13，
∴CG²+MG²=CM²
∴△CMG是直角三角形，且MG⊥CG，
∴直線CG與⊙M相切．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和反比例函數(shù)的性質(zhì)．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．