Question

7．正△ABC的邊長是4，分別以點B，C為圓心，以r為半徑作兩條弧，設(shè)兩弧與邊BC圍成的陰影部分的面積為S，當2$\sqrt{2}$≤r≤4時，S的取值范圍是多少？

Answer 1

分析 首先求出S關(guān)于r的函數(shù)表達式，分析其增減性；然后根據(jù)r的取值，求出S的最大值與最小值，從而得到S的取值范圍．

解答 解：如右圖所示，過點D作DG⊥BC于點G，易知G為BC的中點，CG=2．
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG=$\sqrt{C{D}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{r}^{2}-4}$．
設(shè)∠DCG=θ，則由題意可得：
S=2（S_扇形CDE-S_△CDG）=2（$\frac{θπ{r}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{{r}^{2}-4}$）=$\frac{θπ{r}^{2}}{180}$-2$\sqrt{{r}^{2}-4}$，
當r增大時，∠DCG=θ隨之增大，故S隨r的增大而增大．
當r=2$\sqrt{2}$時，DG=$\sqrt{{r}^{2}-4}$=2，
∵CG=2，
∴θ=45°，
∴S=$\frac{45π×（2\sqrt{2}）^{2}}{180}$-2$\sqrt{（{2\sqrt{2}）}^{2}-4}$=2π-4；
若r=4，則DG=$\sqrt{{r}^{2}-4}$=2$\sqrt{3}$，
∵CG=2，
∴θ=60°，
∴S=$\frac{60π×{4}^{2}}{180}$-2$\sqrt{{4}^{2}-4}$=$\frac{16π}{3}$-4$\sqrt{3}$．
∴S的取值范圍是：2π-4≤S＜$\frac{16π}{3}$-4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查扇形面積的計算、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等重要知識點．解題關(guān)鍵是求出S的函數(shù)表達式，并分析其增減性．