Question

7．如果兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：
（1）AE與DC的夾角為60°；
（2）AE與DC的交點設(shè)為H，BH平分∠AHC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，求出∠ABE=∠DBC．根據(jù)SAS證△ABE≌△DBC，則∠BDC=∠BAE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出∠AHD=60°；
（2）過點B分別作BM⊥CD，NN⊥AE，垂足為點M，N．根據(jù)三角形的面積公式求出AN=AM，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出即可．

解答 證明：（1）∵△ABD和△BCE是等邊三角形，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC，∠BDC=∠BAE，
∵∠BDC+∠ADC=∠BAE+∠ADC=∠BDA=60°，
∴在△ADH中，∠AHD=180°-∠ADC-∠DAB-∠BAE
=180°-∠ADC-（∠DAB+∠BAE）
=180°-60°-60°
=60°；
（2）過點B分別作BM⊥CD，NN⊥AE，垂足為點M，N．
∵由（1）知：△ABE≌△DBC，
∴S_△ABE=S_△DBC
∴$\frac{1}{2}×CD×BM=\frac{1}{2}×AE×BN$
∴BM=BN
∴點B在∠DHE的平分線上，
∴BH平分∠AHC．

點評 本題考查了等邊三角形性質(zhì)、三角形的面積、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)角和定理的綜合運用，證明△ABE≌△DBC是解決問題的關(guān)鍵．