Question

13．小雨、小華、小星暑假到某超市參加社會實踐活動，在活動中他們參加了某種水果的銷售工作，已知該水果的進價為8元/千克，下面是他們在活動結(jié)束后的對話．
小華：“如果以10元/千克的價格銷售，那么每天可售出300千克．”
小雨：“如果以13元/千克的價格銷售，那么每天可售出150千克．”
小星：“通過調(diào)查驗證，我發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系．”
（1）求y（千克）與 x（元）（x＞0）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）一段時間后，發(fā)現(xiàn)這種水果每天的銷售量均不低于250千克，則此時該超市銷售這種水果每天獲取的利潤w（元）最大是多少？
（3）為響應政府號召，該超市決定在暑假期間每銷售1千克這種水果就捐贈a元利潤（a≤2.5）給希望工程．公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，當銷售單價不超過13元時，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨銷售單價x （元）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)y（千克）與 x（元）（x＞0）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由這種水果每天的銷售量均不低于250千克即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，再根據(jù)“每天獲得利潤=每千克利潤×銷售數(shù)量”即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；
（3）設(shè)扣除捐贈后的日銷售利潤為s元，根據(jù)“每天獲得利潤=每千克利潤×銷售數(shù)量”即可得出s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合“當銷售單價不超過13元時，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨銷售單價x （元）的增大而增大”即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)y（千克）與 x（元）（x＞0）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{300=10k+b}\\{150=13k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-50}\\{b=800}\end{array}\right.$，
∴y（千克）與 x（元）（x＞0）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-50x+800．
（2）由已知得：-50x+800≥250，
解得：x≤11．
w=（x-8）y=（x-8）（-50x+800）=-50x²+1200x-6400=-50（x-12）²+800，
∵-50＜0，
∴在x≤12上，w隨x的增大而增大，
∴當x=11時，w最大，最大值為750．
答：當售價為11元/千克時，該超市銷售這種水果每天獲取的利潤w最大，最大值為750元．
（3）設(shè)扣除捐贈后的日銷售利潤為s元，則s=（x-8-a）（-50x+800）=-50x²+（1200+50a）x-6400-800a，
∵當銷售單價不超過13元時，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨銷售單價x （元）的增大而增大，
∴-$\frac{1200+50a}{2×（-50）}$≥13，
解得：a≥2，
∵a≤2.5，
∴a的取值范圍為2≤a≤2.5．

點評 本題考查了一次函數(shù)的應用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出關(guān)于a的一元一次不等式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出在某個區(qū)間段函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．