Question

11．如圖，點O為等邊△ABC內(nèi)一點，OA=2$\sqrt{5}$，OC=$\sqrt{15}$，連接BO并延長交AC于點D．若∠DOC=30°，過點B作BF⊥BD交CO延長線于點F，連接AF，則AF=$\frac{4\sqrt{15}}{3}$．

Answer 1

分析 在FC上截取FN=FB，得到△BFM是等邊三角形，根據(jù)全等三角形的性質得到∠FAB=∠CMB，求得∠AFC=∠ABC=60°，設BF=FM=x，作OH⊥AC于H，解直角三角形得到即可得到結論．

解答 解：在FC上截取FN=FB，
∵∠BFM=60°，
∴△BFM是等邊三角形，
在△AFB與△CMB中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠FBM=∠MBC}\\{FB=MB}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△CMB，
∴∠FAB=∠CMB，
∴∠AFC=∠ABC=60°，
設BF=FM=x，
∵∠FOB=∠DOC=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$FO，F(xiàn)O=2x，MC=AF=x+$\sqrt{15}$，
作OH⊥AC于H，則FH=$\frac{1}{2}$OF=x，AH=$\sqrt{15}$，
∵AO=2$\sqrt{5}$，
∴OH=$\sqrt{5}$，F(xiàn)H=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{15}}{3}$+$\sqrt{15}$=$\frac{4\sqrt{15}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{15}}{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．