Question

12．如圖，已知AE平分∠BAC，ED垂直平分BC，EF⊥AC，EG⊥AB，垂足分別是點F、G．求證：
（1）BG=CF；  
（2）AB=AF+CF．

Answer 1

分析 （1）連接CE、BE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EC=EB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF=EG，于是證得Rt△CFE≌Rt△BGE，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)AE平分∠BAC，EF⊥AC，EG⊥AB，得到EF=EG，證得Rt△AGE≌Rt△AFE，得到AG=AF，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連接CE、BE，
∵ED垂直平分BC，
∴EC=EB，
∵AE平分∠CAB，EF⊥AC，EG⊥AB，
∴EF=EG，
在Rt△CFE和Rt△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}EC=EB\\ EF=EG\end{array}\right.$，
∴Rt△CFE≌Rt△BGE，
∴BG=CF；

（2）∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，EG⊥AB，
∴EF=EG，
在Rt△AGE和Rt△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EG=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGE≌Rt△AFE，
∴AG=AF，
∵AB=AG+BG，
∴AB=AF+CF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．