Question

5．如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作直線EP與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，使∠PED=∠C．
（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）求證：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半徑為5，CF=2EF，求PD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接OE．欲證明PE是⊙O的切線，只需推知OE⊥PE即可；
（2）由圓周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根據(jù)“同角的余角相等”推知∠3=∠4，結(jié)合已知條件證得結(jié)論；
（3）設(shè)EF=x，則CF=2x，在RT△OEF中，根據(jù)勾股定理得出5²=x²+（2x-5）²，求得EF=4，進(jìn)而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根據(jù)勾股定理求得AE=6，然后根據(jù)△AEB∽△EFP，得出$\frac{PF}{8}$=$\frac{4}{6}$，求得PF=$\frac{16}{3}$，即可求得PD的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：如圖，連接OE．
∵CD是圓O的直徑，
∴∠CED=90°．
∵OC=OE，
∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，
∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥EP，
又∵點(diǎn)E在圓上，
∴PE是⊙O的切線；

（2）證明：∵AB、CD為⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠CED=90°，
∴∠3=∠4（同角的余角相等）．
又∵∠PED=∠1，
∴∠PED=∠4，
即ED平分∠BEP；

（3）解：設(shè)EF=x，則CF=2x，
∵⊙O的半徑為5，
∴OF=2x-5，
在RT△OEF中，OE²=OF²+EF²，即5²=x²+（2x-5）²，
解得x=4，
∴EF=4，
∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，
∴DF=CD-CF=10-8=2，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=6，
∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴$\frac{PF}{BE}$=$\frac{EF}{AE}$，即$\frac{PF}{8}$=$\frac{4}{6}$，
∴PF=$\frac{16}{3}$，
∴PD=PF-DF=$\frac{16}{3}$-2=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．