Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，且AE平分∠BAC，下列關(guān)系式不成立的是（　�。�

• A． AC=2EC
• B． ∠B=∠CAE
• C． ∠DEA=∠CEA
• D． BC=3CE

Answer 1

分析 根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AE=BE，根據(jù)等邊對等角可得∠BAE=∠B，然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出∠CAE=∠BAE=∠B=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AE=2CE，BE=2DE，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=EC，然后對各選項分析判斷后利用排除法求解．

解答 解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠C=90°，
∴∠CAE=∠BAE=∠B=30°，
A、在Rt△ACE中，AE=2CE，故本選項正確；
B、∠B=∠CAE正確，故本選項錯誤；
C、∵∠DEA=90°-30°=60°，2∠B=2×30°=60°，
∴∠DEA=2∠B，故本選項錯誤；
D、在Rt△BDE中，BE=2DE，
∵AE平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=EC，
∴BC=EC+BE=EC+2EC=3EC，故本選項錯誤．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．