Question

3．如圖，點(diǎn)P在平行四邊形ABCD內(nèi)，且∠ABP=∠ADP，求證：∠DAP=∠DCP．

Answer 1

分析 首先過(guò)點(diǎn)P作PE∥AD交AB于E，GH∥AB交BC、AD于G、H，可得四邊形AEPH、BGPE、CDHG都是平行四邊形，易證得∠ABP=∠ADP，∠PEB=∠PHD，即可得△PBE∽△PDH，證得$\frac{PE}{PH}=\frac{BE}{DH}$，然后由平行四邊形的對(duì)邊相等，證得$\frac{PE}{AE}=\frac{PG}{CG}$．又由∠PEA=∠PGC，證得△PAE∽△PCG，繼而證得結(jié)論．

解答 證明：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AD交AB于E，GH∥AB交BC、AD于G、H．
∵四邊形ABCD是平行四邊形．
∴AD∥BC∥PE，AB∥CD∥GH．
∴∠PEA=∠ABC=∠PGC，∠PEB=∠BAD=∠PHD．
∵∠ABP=∠ADP，∠PEB=∠PHD，
∴△PBE∽△PDH，
∴$\frac{PE}{PH}=\frac{BE}{DH}$，
∵四邊形AEPH、BGPE、CDHG都是平行四邊形，
∴AE=PH，BE=PG，DH=CG．
∴$\frac{PE}{AE}=\frac{PG}{CG}$．
又∵∠PEA=∠PGC，
∴△PAE∽△PCG．
∴∠BAP=∠BCP，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠DAP=∠DCP．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．