Question

8．如圖，△DBC內(nèi)接于⊙O，DB=DC，$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，DB交AC于E．
（1）求證：BC=EC；
（2）若BC=4，AC=6，求sin∠D的值．

Answer 1

分析 （1）先由DB=DC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得：∠B=∠BCD，然后由$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得∠D=∠ACB，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得：∠BEC=∠D+∠DCA，即∠BEC=∠ACB+∠DCA=∠BCD=∠B，然后根據(jù)等角對(duì)等邊，即可得：BC=EC；
（2）連接AB，作BF⊥AC，垂足為F，由$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等，可得AB=BC=4，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得：AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=3，然后由勾股定理可求：BF的值，然后由等弧所對(duì)的圓周角相等可得：∠D=∠ACB，進(jìn)而可得sin∠D=sin∠ACB=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

解答 （1）證明：∵DB=DC，
∴∠B=∠BCD，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠D=∠ACB，
∵∠BEC=∠D+∠DCA，
即∠BEC=∠ACB+∠DCA=∠BCD=∠B，
∴BC=EC；
（2）解：連接AB，作BF⊥AC，垂足為F，

∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，BC=4，
∴AB=BC=4，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=3，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵∠D=∠ACB，
∴sin∠D=sin∠ACB=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓周角定理，圓周角、弦、弧的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，解（2）的關(guān)鍵是：添加適當(dāng)?shù)妮o助線，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想．