Question

5．已知關(guān)于x的方程x²+2（m+1）x+m²=0有兩個實(shí)數(shù)根x₁、x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）若x₁、x₂滿足（|x₁|-1）（|x₂|-1）=-1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根可得出b²-4ac≥0，代入數(shù)據(jù)即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得出“x₁+x₂=-$\frac{a}$=-2（m+1），x₁x₂=$\frac{c}{a}$=m²”，再由x₁x₂=m²≥0，可得出x₁、x₂同號或其中一個為0，將（|x₁|-1）（|x₂|-1）=-1變形為只含x₁x₂與x₁+x₂的形式，代入數(shù)據(jù)即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知得：△=b²-4ac=[2（m+1）]²-4m²≥0，
即2m+1≥0，
解得：m≥-$\frac{1}{2}$．
（2）∵關(guān)于x的方程x²+2（m+1）x+m²=0有兩個實(shí)數(shù)根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$=-2（m+1），x₁x₂=$\frac{c}{a}$=m²．
∵x₁x₂=$\frac{c}{a}$=m²＞0，
∴x₁、x₂同號或其中一個為0，
∴（|x₁|-1）（|x₂|-1）=|x₁x₂|-（|x₁+x₂|）+1=m²-2（m+1）+1=-1，
即m²-2m=m（m-2）=0，
解得：m₁=0，m₂=2．

點(diǎn)評 本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）得出關(guān)于m的一元一次不等式；（2）得出關(guān)于m的一元二次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出兩根之和與兩根之積是關(guān)鍵．