Question

20．如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC=3，AB=4，以BC為直徑作⊙O交AB于D，交AC于點(diǎn)G，DF⊥AC，垂足為F．交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可；
（2）根據(jù)∠E=∠CBG，可以把求sin∠E的值得問題轉(zhuǎn)化為求sin∠CBG，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問題．

解答 （1）證明：連接OD，如圖1所示：
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠A=∠ABC=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴直線EF是⊙O的切線；
（2）解：連BG、CD．如圖2所示：
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，∠BGC=90
∴∠CDA=90°，
∵OD∥AC，OB=OC，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，
∴BG=$\frac{AB•CD}{AC}$=$\frac{4×\sqrt{5}}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{4\sqrt{5}}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴sin∠E=sin∠CBG=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{\frac{1}{3}}{3}$=$\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的判定、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握切線的判定與構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．