Question

15．如圖1，點A，B分別是二次函數(shù)y=2x²的圖象上的兩個點，A、B的橫坐標分別為a，b（a＜0，b＞0），點P（0，t）是拋物線對稱軸上的任意一點．
（1）當(dāng)a+b=0時，探究是否存在t，使得△PAB是以AB為底的等腰三角形？若存在，請直接寫出t、a、b的其中一組值；若不存在，請說明理由；
（2）當(dāng)a+b≠0時，探究是否存在t，使得△PAB是以AB為底的等腰三角形？若存在，請寫出t的取值范圍，并用含t的代數(shù)式表示a²+b²的值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2作邊長為4的正方形ACDE（A、C、D、E按逆時針排列），使得AC∥x軸，若邊CD與二次函數(shù)的圖象總有交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)即可；
（2）表示出點的坐標，利用PA=PB建立方程求解即可；
（3）聯(lián)立方程組求解函數(shù)圖象的交點坐標．

解答 解：（1）當(dāng) a+b=0時，
∴PA=PB∴只需滿足t≠2a²即可
∴a=-1，b=1，t=3，
（2）∵A（a，2a²），B（b，2b²），P（0，t）
∵PA=PB，
∴a²+（t-2a²）²=b²+（t-2b²）²
∴a²-b²+（t-2a²）²-（t-2b²）²=0，
（a²-b²）[1-4（t-a²-b²）]=0，
∵a²-b²≠0
∴1-4（t-a²-b²）=0
∴a²+b²=t-$\frac{1}{4}$，
∴t-$\frac{1}{4}$＞0，
∴t＞$\frac{1}{4}$，
（3）A（a，2a²），
∴C（a+4，2a²） D（a+4，2a²+4），
設(shè)邊CD與二次函數(shù)圖象交點為F（a+4，2（a+4）²）
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}2{（a+4）^2}≥2{a^2}\\ 2{a^2}+4≥2{（a+4）^2}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}a≥-2\\ a≤-\frac{7}{4}\end{array}\right.$
∴$-2≤a≤-\frac{7}{4}$，

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求交點坐標的方法，非負性的考查，解本題的關(guān)鍵是點的坐標的表示．