Question

7．如圖，AB為⊙O的直徑，AC交⊙O于E點(diǎn)，BC交⊙O于D點(diǎn)，CD=BD，∠C=70°．現(xiàn)給出以下四種結(jié)論：①∠A=45°；②AC=AB；③AE=BE；④CE•AB=2BD²．其中正確結(jié)論的序號是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 連接AD，根據(jù)圓周角定理可知∠ADB=90°，再由CD=CB可知AD是BC的垂直平分線，可知②正確；連接DE，BE，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠CDE=∠CAB，故可得出△CDE∽△CAB，由此可判斷出④正確．

解答 解：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∵CD=BD，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴AC=AB，故②正確；
∵AC=AB，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=40°，故①錯(cuò)誤；
連接BE，DE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠ABE=50°，
∴∠BAC≠∠ABE，
∴AE≠BE，故③錯(cuò)誤；
∵四邊形ABDE是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠CDE=∠CAB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CE}{BC}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{2BD}$，
∴CE•AB=2BD²，故④正確．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓周角是解題的關(guān)鍵．