Question

18．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB邊向B點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q兩點(diǎn)在分別達(dá)到B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)，回答下列問題：
（1）運(yùn)動(dòng)開始后第T秒時(shí)，△PBQ的面積等于8cm²．
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)開始后第T秒時(shí)，五邊形PQCD的面積為Scm²，寫出S與T的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量T的取值范圍；
（3）T為何值時(shí)S最小？求出S的最小值．

Answer 1

分析 （1）表示出PB，QB的長，利用△PBQ的面積等于8列式求值即可；
（2）根據(jù)t秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程，分別表示PB、BQ的長度，可得△BPQ的面積，用S=S_矩形ABCD-S_△PBQ求面積即可；
（3）將（1）中所求函數(shù)式配方，可得函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm²．
則AP=x，QB=2x．
∴PB=6-x．
∴$\frac{1}{2}$×（6-x）2x=8，
解得x₁=2，x₂=4．
答：2秒或4秒后△PBQ的面積等于8cm²．
（2）第t秒鐘時(shí)，AP=tcm，故PB=（6-t）cm，BQ=2tcm，
故S_△PBQ=$\frac{1}{2}$•（6-t）•2t=-t²+6t
∵S_矩形ABCD=6×12=72．
∴S=72-S_△PBQ=t²-6t+72（0＜t＜6）；
（3）∵S=t²-6t+72=（t-3）²+63，
∴當(dāng)t=3秒時(shí)，S有最小值63cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的最值在解決面積問題中的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)所設(shè)字母，表示相關(guān)線段的長度，再計(jì)算面積，把所得的代數(shù)式看作二次函數(shù)求最值