Question

2．已知，如圖?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，對角線AC、BD交于O點，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC、AD于點E、F．
（1）連接哪些線段可以構成新的平行四邊形？請說明理由；
（2）證明：在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；
（3）在旋轉過程中，四邊形DEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質得出OA=OC，OB-OD，OE=OF，故可得出結論；
（2）根據(jù)ASA定理得出△AOF≌△COE，由此可得出結論；
（3）連接BF，DE，EF與BD互相平分可知，當EF⊥BD時四邊形BEDF是菱形，再由勾股定理去除AC的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得出結論．

解答 （1）解：連接AE、CF、BF、DE，則可得到?AECF，?BEDF．
理由：∵OA=OC，OB=OD，OE=OF，
∴四邊形AECF與四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴$\left\{\begin{array}{l}AO=CO\\∠FAO=∠ECO\\∠AOF=COE\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE；

（3）解：四邊形BEDF可以是菱形．
理由：如圖，連接BF，DE，
∵由（2）知△AOF≌△COE，
∴OE=OF，
∴當EF⊥BD時四邊形BEDF是菱形．
在Rt△ABC中，
∵AB=1，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{5-1}$=2，
∴PA=1=AB，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=90°-45°=45°，
∴AC繞點O順時針旋轉45°時，四邊形BEDF是菱形．

點評 本題考查的是幾何變換綜合題，涉及到平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、菱形的判定與性質等知識，難度適中．