Question

7．如圖，在半圓O中，AB是直徑，DC與半圓O相切于點C，AD⊥DC于點D，AD交半圓O于點E．
（1）如圖1，求證：∠ACD=∠ABC；
（2）若AE：AB=3：5，如圖2，求證：DC=2DE；
（3）在（2）的條件下，過點E作EG⊥AB于G，交AC于F，連接DF，若OG=$\frac{7}{2}$，如圖3，求△DEF的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連結OC，先根據切線的性質得到∠ACD+∠2=90°，再根據圓周角定理得到∠2+∠1=90°，則∠ACD=∠1，加上∠1=∠B，所以∠ACD=∠ABC；
（2）如圖2，連結OC、BE，它們相交于點H，先證明四邊形CDEH為矩形得到CD=EH，DE=CH，設AE=3x，則AB=4x，利用勾股定理計算出BE=4x，利用垂徑定理，由OH⊥BE得到EH=BH=$\frac{1}{2}$BE=2x，則CD=EH=2x，接著在Rt△OHB中利用勾股定理計算出OH=$\frac{3}{2}$x，則CH=OC-OH=x，所以DE=x，于是可判斷DC=2DE；
（3）作FP⊥AD于P，如圖3，先證明Rt△AEG∽Rt△ABC，利用相似比計算出AG=$\frac{9}{5}$x，則OG=OA-AG=$\frac{7}{10}$x=$\frac{7}{2}$，解得x=5，則DE=5，AG=9，CD=10，AD=AE+DE=20，接著利用勾股定理計算出AC=10$\sqrt{5}$，BC=5$\sqrt{5}$，然后證明Rt△AFG∽Rt△ABC，利用相似比計算出FG=$\frac{9}{2}$，再證明∠DAC=∠BAC，則根據角平分線的性質得到FP=FG=$\frac{9}{2}$，最后利用三角形面積公式求解．

解答 （1）證明：如圖1，連結OC，
∵DC與半圓O相切于點C，
∴OC⊥CD，
∴∠ACD+∠2=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，即∠2+∠1=90°，
∴∠ACD=∠1，
而OB=OC，
∴∠1=∠B，
∴∠ACD=∠ABC；
（2）證明：如圖2，連結OC、BE，它們相交于點H，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
而AD⊥DC，
∴四邊形CDEH為矩形，
∴CD=EH，DE=CH，
設AE=3x，則AB=4x，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=4x，
∴OH⊥BE，
∴EH=BH=$\frac{1}{2}$BE=2x，
∴CD=EH=2x，
在Rt△OHB中，∵BH=2x，OB=$\frac{5}{2}$x，
∴OH=$\sqrt{O{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{3}{2}$x，
∴CH=OC-OH=x，
∴DE=x，
∴DC=2DE；
（3）解：作FP⊥AD于P，如圖3，
∵EG⊥AB，
∴∠AGE=90°，
∵∠EAG=∠BAC，
∴Rt△AEG∽Rt△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AG}{AE}$，即$\frac{3x}{5x}$=$\frac{AG}{3x}$，解得AG=$\frac{9}{5}$x，
∴OG=OA-AG=$\frac{5}{2}$x-$\frac{9}{5}$x=$\frac{7}{10}$x，
∴$\frac{7}{10}$x=$\frac{7}{2}$，解得x=5，
∴DE=5，AG=9，CD=10，
∴AD=AE+DE=20，
在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=10$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
，∵∠FAG=∠BAC，
∴Rt△AFG∽Rt△ABC，
∴$\frac{FG}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$，即$\frac{FG}{5\sqrt{5}}$=$\frac{9}{10\sqrt{5}}$，解得FG=$\frac{9}{2}$，
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴FP=FG=$\frac{9}{2}$，
∴△DEF的面積=$\frac{1}{2}$FP•DE=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×5=$\frac{45}{4}$．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理、切線的性質和角平分線的性質定理；會利用相似比和勾股定理進行幾何計算．本題的關鍵是合理作輔助線．