Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠B=60°，點(diǎn)P、Q分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且BP=CQ．
（1）圖中除了△ABC與△ADC外，還有哪些三角形全等，請(qǐng)寫出來；
（2）點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形APCQ的面積是否變化，如果變化，請(qǐng)說明理由；如果不變，請(qǐng)求出面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PCQ的面積最大，并請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）△ABP≌△ACQ，△APC≌△AQD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)證明即可；
（2）面積不變，根據(jù)三角形ACP和三角形ADQ全等，則四邊形APCQ的面積等于三角形ABC或者三角形ACD的面積．
（3）要使三角形PCQ的面積最大，只要等邊三角形APQ的面積最小即AP⊥BC時(shí)即可．

解答：解：（1）△ABP≌△ACQ，△APC≌△AQD，
在菱形ABCD中，∵∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∴AC=CD，
∵∠PAQ=60°，
∴∠CAP=∠DAQ，
∴△ACP≌△ADQ，
同理：△ABP≌△ACQ；
（2）四邊形的面積不變?yōu)槎ㄖ担?br />理由如下：
∵△ACP≌△ADQ，∴S_△ACP=S_△ADQ，
即S_{四邊形APCQ}=S_△ACD=

1

2

×2×

3

=

3

；

（3）∵△PAQ是等邊三角形，
∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，三角形APQ的面積最小，則三角形PCQ的面積最大．
此時(shí)BP=1，即點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊距離為1時(shí)，三角形PCQ的面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的判定，有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形．