Question

2．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），C（-2，-3），直線BC與y軸交于點(diǎn)D，E為二次函數(shù)圖象上任一點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)E在直線BC的上方，過E分別作BC和y軸的垂線，交直線BC于不同的兩點(diǎn)F，G（F在G的左側(cè)），求△EFG周長的最大值；
（3）是否存在點(diǎn)E，使得△EDB是以BD為直角邊的直角三角形？如果存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，運(yùn)用待定系數(shù)法求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，先求直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)（-m²+3m+8，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），求出EG的長，證明∴△EFG∽△DOB，根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比表示△EFG周長═$\frac{3\sqrt{5}+5}{5}$（-m²+2m+8）=$\frac{3\sqrt{5}+5}{5}$[-（m-1）²+9]，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)確定其最值；
（3）分二種情況討論：分別以D、B兩個(gè)頂點(diǎn)為直角時(shí)，列方程組，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)兩垂直直線的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)倒數(shù)得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，把A（-1，0），B（4，0），C（-2，-3）代入y=ax²+bx+c中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{4a-2b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
則二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）如圖2，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（4，0），C（-2，-3）代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{-2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
設(shè)E（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），-2＜m＜4，
∵EG⊥y軸，
∴E和G的縱坐標(biāo)相等，
∵點(diǎn)G在直線BC上，
當(dāng)y=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2時(shí)，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2=$\frac{1}{2}$x-2，
x=-m²+3m+8，
則G（-m²+3m+8，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），
∴EG=-m²+3m+8-m=-m²+2m+8，
∵EG∥AB，
∴∠EGF=∠OBD，
∵∠EFG=∠BOD=90°，
∴△EFG∽△DOB，
∴$\frac{△EFG的周長}{△DOB的周長}$=$\frac{EG}{BD}$，
∵D（0，-2），B（4，0），
∴OB=4，OD=2，
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{△EFG的周長}{2+4+2\sqrt{5}}$=-$\frac{-{m}^{2}+2m+8}{2\sqrt{5}}$，
∴△EFG的周長=$\frac{3\sqrt{5}+5}{5}$（-m²+2m+8），
=$\frac{3\sqrt{5}+5}{5}$[-（m-1）²+9]，
∴當(dāng)m=1時(shí)，△EFG周長最大，最大值是$\frac{27\sqrt{5}+45}{5}$；
（3）存在點(diǎn)E，
分兩種情況：
①若∠EBD=90°，則BD⊥BE，如圖3，
設(shè)BD的解析式為：y=kx+b，
把B（4，0）、D（0，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴BD的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴設(shè)直線EB的解析式為：y=-2x+b，
把B（4，0）代入得：b=8，
∴直線EB的解析式為：y=-2x+8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{y=-2x+8}\end{array}\right.$，
-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-2x+8，
解得：x₁=3，x₂=4（舍），
當(dāng)x=3時(shí)，y=-2×3+8=2，
∴E（3，2），
②當(dāng)BD⊥DE時(shí)，即∠EDB=90°，如圖4，
同理得：DE的解析式為：y=-2x+b，
把D（0，-2）代入得：b=-2，
∴DE的解析式為：y=-2x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{y=-2x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=8}\\{{y}_{1}=-18}\end{array}\right.$    $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
∴E（8，-18）或（-1，0），
綜上所述，點(diǎn)E（3，2）或（8，-18）或（-1，0），
故存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，2）或（-1，0）或（8，18）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式；根據(jù)兩直線垂直，則一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)倒數(shù)，利用一條直線求另一條直線的解析式；若三角形直角三角形時(shí)，要采用分類討論的思想，分二種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理或解析式或相似求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．