Question

2．若∠BAC是△ABC的最大內(nèi)角，△ABC的高BD、CE所在的直線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)D、E都不與點(diǎn)A重合．猜想∠BAC和∠COD有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 ①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，由∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠BOE=90°，得出∠A=∠BOE，再由∠BOE=∠COD，得出∠A=∠COD即可得出結(jié)論；
②當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，則D與A重合，不合題意舍去；
③△ABC為鈍角三角形時(shí)，由∠ABD+∠COD=90°，∠ABD+∠BAD=90°，得出∠COD=∠BAD，再由∠BAD+∠BAC=180°即可得出結(jié)論．

解答 解：∠BAC和∠COD數(shù)量關(guān)系為：∠BAC=∠COD或∠BAC+∠COD=180°；理由如下：
分三種情況討論：
①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1所示：
∵CE⊥AB、BD⊥AC，
∴∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠BOE=90°，
∴∠A=∠BOE，
∵∠BOE=∠COD，
∴∠A=∠COD，
∴∠BAC=∠COD；
②當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，如圖2所示：
則D與A重合，不合題意舍去；
③△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖3所示：
∵CE⊥BA、BD⊥AC，
∴∠ABD+∠COD=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠COD=∠BAD，
∵∠BAD+∠BAC=180°，
∴∠COD+∠BAC=180°；
綜上所述：∠BAC和∠COD數(shù)量關(guān)系為：∠BAC=∠COD或∠BAC+∠COD=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角等知識(shí)，根據(jù)不同三角形進(jìn)行討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．