Question

14．如圖，點D為線段AB延長線上一點，△ABC和△BDE分別是以AB，BD為斜邊的等腰直角三角形．連接CE并延長，交AD的延長線于F，△ABC的外接圓圓O交CF與點M．若AB=6，BD=2．
（1）求CE長度；
（2）證明：AC²=CM•CF；
（3）求CM長度．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△BDE等腰直角三角形，AB=6，BD=2．得到BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{2}$，∠ABC=∠EBD=45°，∠CBE=90°，根據(jù)勾股定理即可求得CE=$\sqrt{{CB}^{2}{+BE}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（2）欲證AC²=CM•CF，即證AC：CF=CM：AC，連接AM，通過證明△ACM∽△FCA可以得出；
（3）根據(jù)△EDF∽△CBF，得到$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{EF}{CF}$，$\frac{EF}{EF+CE}$=$\frac{DF}{BD+DF}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，求出BF=3，CF=3$\sqrt{5}$，根據(jù)切割線定理得到BF•AF=FM•CF，求出FM=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，即可得CM=3$\sqrt{5}$-$\frac{9\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：（1）∵△ABC和△BDE等腰直角三角形，AB=6，BD=2．
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{2}$，∠ABC=∠EBD=45°，
∴∠CBE=90°，
∴CE=$\sqrt{{CB}^{2}{+BE}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

（2）證明：連接AM，則∠AMC=∠ABC=∠CAF=45°，
∵∠ACM=∠FCA
∴△ACM∽△FCA，
∴$\frac{AC}{CF}$=$\frac{CM}{AC}$，
∴AC²=CM•CF；

（3）∵∠ABC=∠BDE，
∴DE∥BC，
∴△EDF∽△CBF，
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{EF}{CF}$，
∴$\frac{EF}{EF+CE}$=$\frac{DF}{BD+DF}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴BF=3，CF=3$\sqrt{5}$，
∵BF•AF=FM•CF，
∴FM=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，
∴CM=3$\sqrt{5}$-$\frac{9\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定及有關(guān)性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強，有一定的難度．